Conjecture et Preuve Algébrique

1. Voici un exemple de programme Python pour calculer l'expression demandée :

# On demande ici un entier naturel à l'utilisateur
n = int(input("Entrez un entier naturel n : "))

# Calcul de l'expression et enregistrement du résultat dans la variable resultat
resultat = n**2 + (n + 1)**2 - (n + 2)**2 + (n + 3)**2

# Affichage du résultat
print("Le résultat de l'expression est :", resultat)
    

2. En testant ce programme avec plusieurs valeurs de n (par exemple 1, 2, 3, etc.), on observe que le résultat de l'expression change avec n, indiquant qu'il n'est pas constant. Voici quelques résultats :

• Pour n = 0, le résultat est 6
• Pour n = 1, le résultat est 12
• Pour n = 2, le résultat est 22
• Pour n = 3, le résultat est 36

Conjecture :

Le résultat de l'expression n^2 + (n + 1)^2 - (n + 2)^2 + (n + 3)^2 dépend de n et semble croître de manière quadratique.

Preuve algébrique :

Développons l'expression pour vérifier cette conjecture.

L'expression donnée est :

n^2 + (n + 1)^2 - (n + 2)^2 + (n + 3)^2

Développons chaque terme :

• n^2
• (n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1
• (n + 2)^2 = n^2 + 4n + 4
• (n + 3)^2 = n^2 + 6n + 9

En substituant ces termes dans l'expression :

n^2 + (n^2 + 2n + 1) - (n^2 + 4n + 4) + (n^2 + 6n + 9)

Simplifions :

= n^2 + n^2 + 2n + 1 - n^2 - 4n - 4 + n^2 + 6n + 9

En regroupant les termes similaires :

= 2n^2 + 4n + 6

Ce qui donne la formule simplifiée :

2n^2 + 4n + 6

Ainsi, nous avons prouvé algébriquement que le résultat est une fonction quadratique de n, confirmant que le résultat varie avec n et croît de manière quadratique.